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求解博弈论实际例子?

发布时间:2019-10-23 19:44 来源:未知 编辑:admin

  博弈论,又称为对策论(Game Theory)、赛局理论等,既是现代数学的一个新分支,也是运筹学的一个重要学科。

  博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用,是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。 博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为,并研究它们的优化策略。生物学家使用博弈理论来理解和预测进化论的某些结果。博弈论已经成为经济学的标准分析工具之一。在金融学、证券学、生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。

  在博弈论中,含有占优战略均衡的一个著名例子是由塔克给出的“囚徒困境”(prisoners dilemma)博弈模型。该模型用一种特别的方式为我们讲述了一个警察与小偷的故事。假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被警察抓住。

  警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯,对每一个犯罪嫌疑人,警方给出的政策是:如果两个犯罪嫌疑人都坦白了罪行,交出了赃物,于是证据确凿,两人都被判有罪,各被判刑8年;如果只有一个犯罪嫌疑人坦白,另一个人没有坦白而是抵赖,则以妨碍公务罪(因已有证据表明其有罪)再加刑2年,而坦白者有功被减刑8年,立即释放。如果两人都抵赖,则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪,但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。下表给出了这个博弈的支付矩阵

  对A来说,尽管他不知道B作何选择,但他知道无论B选择什么,他选择“坦白”总是最优的。显然,根据对称性,B也会选择“坦白”,结果是两人都被判刑8年。但是,倘若他们都选择“抵赖”,每人只被判刑1年。在表2.2中的四种行动选择组合中,(抵赖、抵赖)是帕累托最优,因为偏离这个行动选择组合的任何其他行动选择组合都至少会使一个人的境况变差。但是,“坦白”是任一犯罪嫌疑人的占优战略,而(坦白,坦白)是一个占优战略均衡,即纳什均衡。不难看出,此处纳什均衡与帕累托存在冲突。

  单从数学角度讲,这个理论是合理的,也就是选择都坦白。但在这样多维信息共同作用的社会学领域显然是不合适的。正如中国古代将官员之间的行贿受贿称为“陋规”而不是想方设法清查,这是因为社会体系给人行为的束缚作用迫使人的决策发生改变。比如,从心理学角度讲,选择坦白的成本会更大,一方坦白害得另一方加罪,那么事后的报复行为以及从而不会轻易在周围知情人当中的“出卖”角色将会使他损失更多。

  而8年到10年间的增加比例会被淡化,人的尊严会使人产生复仇情绪,略打破“行规”。我们正处于大数据时代,想更接近事实的处理一件事就要尽可能多地掌握相关资料并合理加权分析,人的活动动影像动因复杂,所以囚徒困境只能作为简化模型参考,具体决策还得具体分析。

  一、经济学中的“智猪博弈”(Pigs’payoffs) 这个例子讲的是:

  假设猪圈里有一头大猪、一头小猪。猪圈的一头有猪食槽,另一头安装着控制猪食供应的按钮,按一下按钮会有10个单位的猪食进槽,但是谁按按钮就会首先付出2个单位的成本,若大猪先到槽边,大小猪吃到食物的收益比是6∶4;同时到槽边,大小猪收益比是7∶3;小猪先到槽边,大小猪收益比是9∶1。那么,在两头猪都有智慧的前提下,最终结果是小猪选择等待。

  智猪博弈由纳什于1950年提出。实际上小猪选择等待,让大猪去按控制按钮,而自己选择“坐船”(或称为搭便车)的原因很简单:在大猪选择行动的前提下,小猪选择等待的线个单位的纯收益,而小猪行动的话,则仅仅可以获得大猪吃剩的1个单位的纯收益,所以等待优于行动;在大猪选择等待的前提下,小猪如果行动的话,小猪的收入将不抵成本,纯收益为-1单位,如果小猪也选择等待的话,那么小猪的收益为零,成本也为零,总之,等待还是要优于行动。

  从矩阵中可以看出,当大猪选择行动的时候,小猪如果行动,其收益是1,而小猪等待的线,所以小猪选择等待;当大猪选择等待的时候,小猪如果行动的线,而小猪等待的线,所以小猪也选择等待。综合来看,无论大猪是选择行动还是等待,小猪的选择都将是等待,即等待是小猪的占优策略。

  在小企业经营中,学会如何“搭便车”是一个精明的职业经理人最为基本的素质。在某些时候,如果能够注意等待,让其他大的企业首先开发市场,是一种明智的选择。这时候有所不为才能有所为!高明的管理者善于利用各种有利的条件来为自己服务。“搭便车”实际上是提供给职业经理人面对每一项花费的另一种选择,对它的留意和研究可以给企业节省很多不必要的费用,从而使企业的管理和发展走上一个新的台阶。这种现象在经济生活中十分常见,却很少为小企业的经理人所熟识。在智猪博弈中,虽然小猪的“捡现成”的行为从道义上来讲令人不齿,但是博弈策略的主要目的不正是使用谋略最大化自己的利益吗?

  一位陌生美女主动过来和你搭讪,并要求和你一起玩个游戏。美女提议:“让我们各自亮出硬币的一面,或正或反。如果我们都是正面,那么我给你3元,如果我们都是反面,我给你1元,剩下的情况你给我2元就可以了。”听起来不错的提议。如果我是男性,无论如何我是要玩的,不过经济学考虑就是另外一回事了,这个游戏真的够公平吗?

  假设我们出正面的概率是x,反面的概率是1-x。为了使利益最大化,应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等,不然对手总是可以改变正反面出现的概率让我们的总收入减少,由此列出方程就是3x+(-2)*(1-x)=(-2)*x+1*(1-x)。这个方程通俗的说就是在对手一直出正面你得到的利益,和你对手一直出反面得到利益是一样的且最大。解方程得x=3/8,也就是说平均每八次出示3次正面,5次反面是我们的最优策略。而将x=3/8代入到收益表达式3*x+(-2)*(1-x)中就可得到每次的期望收入,计算结果是-1/8元。

  同样,设美女出正面的概率是y,反面的概率是1-y,列方程-3y+2(1-y)=2y+(-1)*(1-y)。解得y也等于3/8,而美女每次的期望收益则是2(1-y)-3y=1/8元。这告诉我们,在双方都采取最优策略的情况下,平均每次美女赢1/8元。其实只要美女采取了(3/8,5/8)这个方案,不论你再采用什么方案,都是不能改变局面的。如果全部出正面,每次的期望收益是(3+3+3-2-2-2-2-2)/8=-1/8元

  如果全部出反面,每次的期望收益也是(-2-2-2+1+1+1+1+1)/8=-1/8元。而任何策略无非只是上面两种策略的线性组合,所以期望还是-1/8元。但是当你也采用最佳策略时,至少可以保证自己输得最少。否则,你肯定就会被美女采用的策略针对,从而赔掉更多。看起来这个博弈模型似乎没有什么用处,但是其实这可能牵涉了金融市场定价中最重要的一个模型:定价权重模型了。

  总的来说“博弈论”其本质是将日常生活中的竞争矛盾以游戏的形式表现出来,并使用数学和逻辑学的方法来分析事物的运作规律。既然有游戏的参与者那么也必然存在游戏规则的制定者。深入的了解竞争行为的本质,有助于我们分析和掌握竞争中事物之间的关系,更方便我们对规则进行制定和调整,使其最终按照我们所预期的目的进行运作。

  GOO公司和SAM公司是某手机产品生态的两大重量级参与者,双方在产业链的不同位置上各司其职且关系暧昧,有时也往往因商业利益和产品影响力的争夺而各怀异心。二者的收益也随着博弈的变化而不断更替。

  上图表格模拟了两家公司的博弈现状,双方各有两个可选策略“合作”与“背叛”,格中的四组数据表示四个博弈结局的分数(收益),每组数据的第一个数字表示GOO公司的收益,后一个数字表示SAM公司的收益。博弈是同时进行的,一方参与者必须站在对方的角度上来思考我方的策略选择,以追求收益最大化。这在博弈论里称作Putting yourselves into other peoples shoes。

  现在我们以GOO公司为第一人称视角来思考应对SAM公司的博弈策略。假如SAM公司选择合作,那么我方也选择合作带来的收益是3,而我方选择背叛带来的收益是5,基于理性的收益最大化考虑,我方应该选择背叛,这叫严格优势策略;假如SAM公司选择背叛,那么我方选择合作带来的收益是-3,而选择背叛带来的收益为-1,为使损失降到最低,我方应该选择背叛。最后,GOO公司的分析结果是,无论SAM公司选择合作还是背叛策略,我方都必须选择背叛策略才能获得最大化的收益。同理,当SAM公司也以严格优势策略来应对GOO公司的策略选择时,我们重复上述分析过程,就能得出结论:无论GOO公司选择合作还是背叛策略,SAM公司都必须选择背叛策略才能获得最大化收益。

  最后我们发现,本次博弈的双方都采取了背叛策略,各自的收益都为-1,这是一个比较糟糕的结局,尽管对任何一方来说都不是最糟糕的那种。这种局面就是著名的“囚徒困境”。但是,博弈的次数往往不止一次,就像COO与SAM公司双方的商业往来也许会有很多机会。当二者经历了多次背叛策略的博弈之后,发现公式上还有一个(3,3)收益的双赢局面,这比(-1,-1)的收益结果显然要好很多,因此二者在之后的博弈过程中必然会尝试互建信任,从而驱使双方都选择合作策略。

  这里有一个理想化假设,那就是假设双方都知道博弈次数是无限的话,也就是说双方的商业往来是无止尽的,那么二者的策略都将持续选择合作,最终的博弈收益将定格在(3,3),这就是一个纳什均衡。既然博弈次数是无限的,那么任何一方都没有理由选择背叛策略去冒险追求5点短暂收益,而招致对方在下一轮博弈中的报复(这种报复在博弈论里称作“以牙还牙”策略)。还有另一种假设情况是,假使双方都知道博弈次数是有限的,也许下一次博弈就是最后一次,那么为了避免对方在最后一轮博弈中选择背叛策略而使我方遭受-3的收益损失,于是双方都重新采取了背叛的策略选择,最后的博弈结果又回到了(-1,-1),这就形成了第二个纳什均衡。随着次数(博弈性质)的变化,纳什均衡点也并非唯一。

  题设为A、B、C、D、E、F六只狮子(强弱从左到右依次排序)和一只绵羊。假设狮子A吃掉绵羊后就会打盹午睡,这时比A稍弱的狮子B就会趁机吃掉狮子A,接着B也会午睡,然后狮子C就会吃掉狮子B,以此类推。那么问题来了,狮子A敢不敢吃绵羊?

  为简化说明,我们先给出此题的解法。该题须采用逆向分析法,也就是从最弱的狮子F开始分析,依次前推。假设狮子E睡着了,狮子F敢不敢吃掉狮子E?答案是肯定的,因为在狮子F的后面已没有其它狮子,所以狮子F可以放心地吃掉午睡中的狮子E。继续前推,既然狮子E睡着会被狮子F吃掉,那么狮子E必然不敢吃在他前面睡着的狮子D。再往前推,既然狮子E不敢吃掉狮子D,那么D则可以放心去吃午睡中的狮子C。依次前推,得出C不吃,B吃,A不吃。所以答案是狮子A不敢吃掉绵羊。细心的人也许会发现,假如增加或减少狮子的总数,博弈的结果会完全不同。

  我们在狮子F的后面增加了一只狮子G,总数变成7只。用逆向分析法按照上题步骤再推一次,很容易得出结论:狮子G吃,狮子F不吃,E吃,D不吃,C吃,B不吃,A吃。这次的答案变成了狮子A敢吃掉绵羊。

  对比两次博弈我们发现,狮子A敢不敢吃绵羊取决于狮子总数的奇偶性,总数为奇数时,A敢吃掉绵羊;总数为偶数时,A则不敢吃。因此,总数为奇数和总数为偶数的狮群博弈结果形成了两个稳定的纳什均衡点。

  通过上述案例的多轮博弈,初学者应该能够隐约发现纳什均衡的轮廓。当博弈次数不止一次地进行着时,博弈结果将重复定格在某个状态,那个状态即是纳什均衡点。公理解释是如果博弈在某情况下无任一参与者可以通过独自行动而增加收益,则此时的策略组合被称为纳什均衡。

  简单的博弈案例看上去似乎有趣,但博弈论始终是一门深奥复杂的学问,它的复杂之处就在于博弈分析所用的理想化模型与现实永远存在差异。比如博弈论要求各方参与者必须是经济学意义上的“理性人”,而事实上完全的“理性人”并不存在。现实世界存在着太多超出博弈论的变数,这为追求精确预测的博弈模型构建工作带来难度。

  尽管如此,博弈论仍然改变了世界,成为人类理性认识世界的一个重要工具。而纳什均衡的提出无疑丰富了博弈论的理论体系,它是人类文明的一片砖瓦。可以肯定的是,百年之后,人们依然不会忘记约翰纳什的名字,亦不会忘记那个神奇的纳什均衡。资料来源:两个经典例子,揭开博弈论以及纳什均衡的神秘面纱,本文系作者水哥

  假设有A、B、C、D、E、F六只狮子(强弱从左到右依次排序)和一只绵羊。假设A吃掉绵羊后就会打盹,这时比A稍弱的B就会趁机吃掉A,接着B也会打盹,然后比B稍弱的C就会吃掉B,以此类推。问:狮子A敢不敢吃绵羊?

  该题须采用逆向分析法,从最弱的F开始分析,依次前推。假设E睡着了,F肯定会吃掉E,因为在F的后面已没有其它狮子了,不用担心自己被吃掉。继续前推,既然E知道自己睡着会被F吃掉,那么E必然不敢吃睡着了的D。既然E不敢吃掉D,那么D则可以放心去吃睡着的C。依次前推,得出C不吃,B吃,A不吃。所以答案是狮子A不敢吃掉绵羊。

  但是,如果我们在狮子F的后面增加了一只狮子G,总数变成7只,用逆向分析法按照上题步骤再推一次,如下图。这次的答案变成了狮子A敢吃掉绵羊。

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